Problemes irresolubles a l'ensenyament obligatori?

Hi ha alguns problemes matemàtics que van romandre sense ser resolts per molts anys (alguns d'ells encara avui no han estat resolts) i que poden ser "entesos" pels nostres alumnes. Òbviament, en presentar-los a l'aula, volem analitzar en què consisteix el problema i no en trobar la seva solució amb els alumnes. I creiem que té interès analitzar alguns d'ells a l'aula perquè tracten temes curriculars d'una manera entretinguda per als alumnes i fàcil d'implementar pel professor.

Dos exemples: 

Problema 1: fins a quina bola has arribat? (adaptació del problema de Schur)

Tenim dos barrets i boles numerades des del nombre 1 cap endavant. El problema consisteix en posar la major quantitat possible de boles als barrets amb dues condicions:

* les boles es van posant dins dels barrets en ordre, primer la bola 1, després la bola 2, etc

* per posar una bola en un barret, el valor de la bola ha de ser diferent al valor de les sumes que es poden obtenir a partir de dues boles que hi ha dins.

Posem un exemple:

Imatge 1. La bola 1 ha estat posada al segon barret,
Imatge 2. Les boles 2 i 3 han estat posades al primer. Ara cal posar la bola 4: pot anar a qualsevol dels dos barrets. Es tria el primer.

Imatge 3. On anirà el 5?: No es pot posar al primer barret atès que les boles 3 i 2 sumen 5 per tant haurà d'anar al segon barret.

Imatge 4.  En intentar posar la bola 6 s'acaba el joc ja que no es pot posar posar ni al primer ni al segon barret.

Proveu-ho ara vosaltres: fins a quina bola heu arribat? heu aconseguit posar el 6? i el 7? Oi que també és possible aconseguir una distribució de fins a 8 boles en dos barrets?

El problema pot continuar amb tres barrets (que és l'exemple que veureu al vídeo que hi a continuació fet amb alumnes de "grade 2"), amb quatre, amb cinc, etc. Tot i que fer-ho amb tres ja es un bon problema. 

Problema 2: Gratacels alineats  (adaptació del problema de Dudeney dels tres punts no alineats)

Col·locar 8 edificis sobre un paper puntejat de 4x4 de manera que no hi hagi tres edificis en línia recta.

Aquesta és una de les 4 solucions

Cal dir que el que es planteja a l'activitat no és solament trobar una solució sinó trobar-les totes. Us podeu divertir una estona resolent el problema o posant-lo als vostres alumnes també amb graelles de 5x5 o més grans.

Podeu veure un vídeo sobre aquest problema a l'aula (en anglès) en "grade 1". Clicar imatge per accedir a vídeo (en anglès)

D'on surt aquesta proposta?

Aquests problemes pertanyen a una col·lecció més amplia, que proposa un problema d'aquest tipus per nivell,  que hem conegut gràcies al James Ward (@jimmybcn2) i que podeu trobar a: http://mathpickle.com/unsolved-k-12/

Resta portant-ne (IV) una proposta molt engrescadora

Càlcul en columnes

Un dels debats eterns en l'ensenyament de les Matemàtiques a Primària és el paper, les dificultats i les metodologies que implica l'aprenentatge dels algorismes estàndard. Serveixi com a exemple paradigmàtic la resta portant-ne, protagonista absolut dels darrers 40 anys i tema del post "estrella" (el més visitat) d 'aquest bloc.

Segurament aquesta excessiva durada del debat té a veure amb les implicacions socials i escolars que representa el paper central que els algorismes escrits tenen tant per a pares com per a alguns mestres. Però deixant de banda el seu paper com a contingut el problema dels algorismes estàndard a l'escola es pot resumir en aquesta frase: "l'algoritmització prematura provoca passivitat cognitiva". Dit en altres paraules: presentar els algorismes abans de temps potencia una "actitud d'espera" en els alumnes. 

Actualment sembla que comença a haver un consens: apostar per l'endarreriment en la presentació dels algorismes estàndards i resoldre les situacions aritmètiques que es puguin presentar amb estratègies més transparents. Això permet que els alumnes lliguin les seves estratègies emergents amb els instruments de càlcul que utilitzen.

Un d'aquests instruments és l'anomenat càlcul en columnes al llibre de l'Institut Freudenthal Childrens learn Mathematics . Un instrument en el que s'aprofiten els coneixements que els alumnes tenen del sistema posicional (unitats, desenes i centenes) per obtenir el resultat de les operacions. 

Sumar en columnes

Aquesta és l'anomenada suma en columnes. Com es pot observar es recolza en el valor real de le xifres segons el lloc que ocupen i no cau en consider-los tots com a dígits (el 4 de 453 són 400 i no 4). Veiem el procés pas a pas:

400 + 200 = 600

50 + 40 = 90

3 + 8 = 11

Per acabar la suma final s'acostuma a fer mentalment: 690 + 11 = 701

Les diferències bàsiques entre el càlcul en columnes i l'algorisme estàndard serien:

1. L'algorisme en columnes treballa amb quantitats, metre que l'estàndard treballa amb dígits, la qual cosa entra en confrontació directa amb el treball d'identificació de desenes i centenes just en el moment que s'estan coneixent.
2. L'algorisme en columnes és transparent i s'associa fàcilment amb un context de diners (sumar bitllets de 100, de 10 i monedes d'euro) que és com s'introdueix. L'algorisme estàndard en ser més comprimit no és tan transparent: el "portar-ne una" no és de comprensió immediata.
3. L'algorisme estàndard és el punt i final d'un procés de compressió, per tant és més eficient, ocupa menys lloc i és un fet cultural important de les Matemàtiques. Per aquestes raons no hi estem en contra, sinó que posem sobre la taula els inconvenients derivats de la seva introducció prematura i les dinàmiques escolars que comporta actualment.

El discurs associat
"Fer sumes" hauria de venir associat a la resolució de problemes i no presentat de manera aïllada en fulls apart o quaderns. Davant un problema com: "En Jaume ha comprat per regalar dos telèfons mòbils. Un, per a la seva dona, que ha costat 453 € i l'altre, per a la seva filla, que ha costat 248 €. Quant han costat en total?" L'alumne té dues tasques: identificar l'operació que cal fer i trobar el resultat utilitzant les estratègies i habilitats que té en aquell moment al seu abast. A l'hora de fer l'operació, els alumnes poden recolzar-se en el context per resoldre la suma, convertint així l'exercitació en la resolució d'un problema.

A l'hora de calcular les sumes parcials apareixen les estratègies emergents dels alumnes, Per exemple: en la suma presentada anteriorment, per fer 400 + 200 poden sorgir diferents estratègies de resolució més sofisticades o no en funció de les habilitats que dominin, per exemple:

1. 400 + 200 = 600, si domina l'habilitat de comptar de 100 en 100
2. 400 € + 200 € si es recolza en el context com a mecanisme de seguretat
3. 4 bitllets de 100 i 2 bitllets de 100 són 6 bitllets de 100, per tant 600 aprofitant l'estructura de poder comptar bitllets.

És important "que parlin ells" explicant com ho han calculat  i que no ens fixem solament en el que està escrit, ja que així discutim, comparem estratègies i podem incidir en millorar-ne l'eficàcia

Presentem un exemple d'un "discurs associat" a l'operació

Resta en columnes i resta portant-ne

En el cas de les restes sense portar-ne el procés és el mateix que en el cas de la suma, amb algun canvi en el discurs. Per exemple utilitzar "em queden" per a identificar els resultats de les restes parcials. Però el gran avantatge que hi veiem és que quan la resta és "portant-ne" els ofereix un model clar, transparent i entenedor per resoldre les restes d'aquest tipus. Veiem un exemple:

Veiem que, per una banda, el context de treballar amb diners estalvia qualsevol tipus d'instrucció directa donada des de fora. Els primers passos són fàcils ja que tenir 400 € i pagar 200 € implica que encara et quedin 200 €. El canvi es presenta a l'hora d'haver de pagar 8 € quan solament en tens 3. De fet no pots: en deus 5 (el vocabulari pot ser el que us sembli més adient) i escrivim "- 5", associant el signe "-" a l'expressió "en dec". Un cop fetes les restes parcials el càlcul últim és senzill: "si em queden primer 200 € i després 10, me'n queden 210 i si en dec 5, al final em quedo amb 205 €"

Idees finals

Hem posat un exemple, el cas en que la dificultat està en les unitats, però s'estén sense dificultat a altres casos ( a les desenes o a desenes i unitats a la vegada) proveu-ho.

Creiem que l'algorisme en columnes és una gran alternativa per a solucionar les operacions a cicle inicial ja que globalitza la comprensió del sistema de numeració decimal treballant contínuament amb descomposicions de nombres i dóna un model transparent tant per la suma com per la resta.

De totes maneres cal anar amb compte: estem parlant d'una manera de fer Matemàtiques centrada en resoldre situacions. Si ara s'adopta el càlcul en columnes i d'aquí a 3 anys comencen a sortir "quaderns de càlcul en columnes" per exercitar-lo, ens estem equivocant ja que oblidem el context.

Un últim apunt: solucionant les restes per l'algorisme en columnes desapareix el "contingut" restes portant-ne: no es necessita. Aquest aspecte és específic del algorisme estàndard: quan el dependent de la botiga et torna el canvi d'un bitllet de 50€, en algún moment pensa "en porto una"?

Comentari curricular

La LOE, a Catalunya ha desplaçat la introducció de l'algorisme de la resta portant-ne a Cicle Mitjà. Estem completament d'acord, ja que endarrereix la presentació i això ens sembla positiu, però què passa amb els problemes? deixarem de fer problemes de resta portant-ne? De cap manera: gràcies a la resta en columnes podrem atacar qualsevol problema de resta que es presenti a cicle inicial tal i com fèiem abans, però a més sense necessitat de preocupar-nos per fer entendre un algorisme gens transparent.

Amb aquest post donem per acabada (si és que no hi ha algun canvi inesperat) la sèrie de quatre posts sobre resta portant-ne
Posts relacionats: Resta portant-ne (I), Resta portant-ne (II) i Resta portant-ne (III)

Nombres primers, compostos i quadrats

Gràcies a un tuit de la "particular" Vi Hart (@vihartvihart  o http://vihart.com) hem conegut un applet que comença amb una imatge com aquesta:

La primera imatge que apareix representa la sèrie d'arcs de circumferència de radi: 1, 2, 3, etc. Quan activem la "pel·lícula" es va formant una espiral.

A mesura que avança, es van acolorint de vermell els nombres primers i veiem, per exemple (veure figura inferior) que el 51 està alineat amb el 3 i el 17 i 51 és 3x17. Ens preguntem: passa sempre que el nombre final és el producte dels nombres que estan alineats amb ell? Quina informació ens donen els nombres que surten alineats amb d'un nombre determinat? Com veieu és una magnífica ocasió per convidar als alumnes perquè "parlin ells"

 

Aquesta espiral ens va fer pensar en una imatge famosa, davant  de la qual la pregunta que s'acostuma a fer és: qué és això?

I la resposta és "el gargot d'Ulam": els nombres primers pintats en una quadrícula en espiral començada des del centre. Convida a pensar que aquests maleïts nombres primers deuen tenir alguna regularitat encara no trobada. Si voleu conèixer més a fons aquesta història us remetem a la fantàstica exposició sobre "quadrats" dissenyada per la gent de la societat balear Xeix. Us presentem una petita mostra que pot donar lloc a una gran feina amb l'alumnat.

Finalment, comentarem un altre applet que resol de manera notable la representació de divisors d'un nombre. En la part central veiem el gràfic, a sota el nombre, en aquest cas el 36 i a la dreta la seva descomposició en nombres primers.

Si llegim de fora cap a dintre viem que hi ha:

• Un cercle blau gran que conté 3 cercles blaus petits 
• Cada cercle blau petit conté 3 cercles grocs
• Cada cercle groc conté 2 cercles grocs petits
• Cada cercle petit conté 2 punts, el que finalment ens porta a 3x3x2x2

Creiem que és una representació que permet crear preguntes interessants i reptes de cara als nostres alumnes, com per exemple:

• Aquí veiem les representacions de quatre nombres: el 6, el 7, el 8 i el 9. Troba un altre nombre que tingui la mateixa representació que el 7 (és a dir sense subgrups)

 

• Donat un nombre, dibuixa el gràfic (es pot fer manipulativament representant la  quantitat  amb fitxes de parxís). 
• Molts nombres tenen més d'una representació. Donat un nombre, fes totes les representacions possibles. Per exemple, el 30 dóna gràfics diferents segons es comenci la descomposió per 2x15, 3x10 o 5x6. 
• Els nombres primers tenen una sola representació possible. Hi ha altres nombres que la tinguin?
• Donat un gràfic "mut" (amb cercles però sense els punts) troba alguns nombres que responguin a aquesta estructura

Esperem que en aquest començament de curs encara pugueu fer un espai per a enquibir alguna d'aquestes idees al llarg de l'any, si és que us han agradat.

Afegitó (7/11/12)
Una altra animació preciosa

Al següent vídeo podem veure una activitat relacionada amb aquest applet que proposa @martapb87 als seus alumnes de 6è  

La regla de tres

Aquestes precioses il·lustracions pertanyen a un quadern de problemes escrit l'any 1932 per l'Anicet Villar, mestre del grup escolar Pere Vila de Barcelona. La raó per dedicar-li un post és que a la introducció al quadern ens ha semblat veure, en certs aspectes, una proposta propera al que pensem actualment sobre el que haurien d'aprendre els alumnes.

 La introducció: una declaració d'intencions

Volem destacar tres idees interessants que ens suggereix la seva lectura. La primera la trobem quan diu que l'alumne "descobreixi el fil de les relacions que hi ha entre els diferents problemes del mateix tipus", desplaçant així el punt de mira d'una proposta d'un llistat de problemes per entrenar de manera irreflexiva a un llistat de problemes per descobrir-hi relacions.

El segon aspecte ens acosta a la comunicació. No sabem si la pretensió de l'autor era únicament explicar a l'alumne com es resolia aquell tipus de problema en concret. Però, vist amb ulls d'ara i pensant en termes de comunicació, la seva pretensió podia ser donar pautes perquè els alumnes expliquin en forma de text la seva resolució d'aquell tipus de problemes, entrant de ple en la competència comunicativa.

El tercer aspecte i la regla de tres

Fins ara se'ns podria acusar de "lectura parcial o interessada" de les intencions de l'autor, veient coses que potser no són així. Però en l'últim paràgraf de la introducció en la que fa referència explícita a la "regla de tres" o a determinades fórmules d'economia domèstica, no hi ha dubte: les seves indicacions i el que pensem ara estan molt properes: defuig la presentació de fórmules per defensar un treball molt més conceptual. 

Reproduïm aquí sota el paràgraf esmentat:

"Els problemes de regla de tres, d'interès, etc., es resolen per reducció a la unitat, o potser millor dit, per raonament lògic prescindint de tota regla més o menys artificiosa. El mestre que vulgui ensenyar aquestes regles com a mitjà ràpid i mecànic de trobar la solució farà bé sempre que el nen estigui preparat de tal manera que, encara que oblidés les regles fos capaç de resoldre els problemes per discerniment propi"

Si el pobre Anicet veiés l'èxit que té actualment explicar la regla des tres a moltes de les nostres aules, no descansaria en pau. 

Aquest exemple ens dóna entrada a una pràctica, malauradament massa estesa encara en la nostra realitat educativa: l'administració sistemàtica i contínua de "formules màgiques" específiques que solucionen problemes específics: la regla de tres, el càlcul de tants per cent, l'àrea del trapezi, del rombe, dels polígons regulars a partir de l'apotema, córrer la coma en les multiplicacions per decimals, l'escaleta per fer conversions en el sistema mètric decimal, etc. I el més greu és que pensant que guanyem eficàcia, el que fem és donar una imatge als nostres alumnes completament distorsionada del que vol dir "fer Matemàtiques".

Ensenyar la regla de tres a Primària segurament roba a molts d'alumnes, la possibilitat de "descobrir el fil" de les relacions multiplicatives entre nombres o de trobar regularitats més enllà de les additives. Explicar-la a Secundària fa que no entrin a fons a una idea important: la de raó i proporció. A més els deixa orfes d'estratègies, de manera que davant un problema nou una mica diferent als fets anteriorment, no saben com encarar-lo i es bloquegen. Per culpa de l'aprenentatge basat en fórmules molts professors de matemàtiques ens trobem que quan s'acosta la declaració a hisenda, els amics "autònoms" ens truquen per preguntar-nos com es fa per calcular l'IVA corresponent a un producte del que sap el preu final (amb IVA carregat) i cal desglosar-ho.

La regla de tres i en Claudi Alsina

Tenim dues referències sobre la regla de tres, fetes per Claudi Alsina famós i divertit matemàtic de professió i divulgador de vocació. La primera és un innocent acudit publicat al número 3 de la revista l'Escaire (1979).

La segona referència és una frase dita, si més no contundent, en una xerrada als anys 80 on intentava explicitar l'estat de la didàctica de les Matemàtiques al nostre país:

"La regla de tres es diu així perquè solament s'explica a tres països: Espanya, Grècia i Portugal"

Llegida actualment, un pensa si "rescat" i "regla de tres" tenen alguna relació.

Molts anys després d'escriure aquest post, al 2018, durant una sessió del mòdul 2 del curs ARAMAT, analitzant els càlculs basats en la proporcionalitat involucrats en una activitat sobre estadística "Nombres en persepectiva", va surgir la reflexió sobre la falta d'estratègies alternatives a la regla de tres i vam acabar analitzant les taules de proporcionalitat com a estratègia eficient per a aquests càlculs. Aquest vídeo resumeix aquesta discussió:

Hem tornat

Comença el curs. És el moment en que ens plantegem que farem enguany. Posem en ordre les coses de les que estem satisfets per repetir-les aquest any, potser amb algun petit canvi. Ens plantegem alguna millora en coses que no ens han acabat d'agradar. Ara és el moment del treball creatiu i tenir alguns referents a l'abast per treure-hi idees és una bona idea.

Pensem que us poden ser útils algunes adreces de pàgines web o blocs (que seria interessant que seguíssiu) que ofereixin activitats concretes i classificades per poder inspirar-se. En aquest sentit, una de les pàgines que us recomanen és nrich que periòdicament planteja activitats, gairebé sempre en forma de problemes, jocs o reptes per a alumnes de totes les etapes. Mentre que les seves etapes 1, 2 i part de la 3  abastarien primària, les etapes 3 i 4 són pròpiament d'ESOt d'ESO  i la 5 abastaria últims cursos d'ESO i certes incursions a Batxillerat. La pàgina és en anglès, però té traducció automàtica (no és que sigui excel·lent però ajuda)

Val a dir que apart de plantejar el problema, tal com es veu a la capçalera, s'hi inclouen unes molt útils "notes pel professorat", que solament ocupen un full i més o menys sempre tenen la mateixa estructura:

1. Per què aquest joc?
2. Possibles enfocaments
3. Les preguntes clau
4. Possible suport
5. Possible extensió

Una altra característica important és que moltes d'aquestes activitats aporten un applet per poder treballar-hi o vídeos explicatius. Un últim apartat, molt interessant, però del que molts quedem fora, de moment, per culpa de l'idioma, és un lloc on els alumnes poden enviar la solució del problema i hi queden recollides.

Alguns exemples
Etapa 1 i 2: Dotty six:
Una mena de quadrat màgic en el que cal aconseguir tres sisos en ratlla. Cal destacar que inclou un vídeo explicatiu i un applet per a jugar-hi.

Etapa 3 i 4: Tres en ratlla

Un altre joc del tres en ratlla que treballa les sumes i restes de nombres enters, on es pot triar l'ordre dels nombres i l'operació, per aconseguir el nombre desitjat.

Hem posat dos jocs d'exemple, però la col·lecció de situacions i problemes toca molts aspectes com veureu a l'apartat de pòsters. 

Els pòsters nrich: una gran ajuda
Alguns dels molts problemes de la pàgina estan recollits, en presentacions power point, en un format que ells anomenen "pòsters" preparats per a ser presentats amb un projector. Considerem que és una eina molt útil ja que ens dóna una visió d'entrada interessant.

Us presentem un exemple  de l'etapa 3 per que en veieu el format. Clicant a sota de la imatge en trobareu molts més de la mateixa llista. Aquestes power point  poden ser descarregats.

Per accedir a la llista completa cliqueu aquí: 
presenten aproximadament 90 problemes.

Hi ha dues cintes vermelles i quatre de blaves en una caixa. Traiem dues cintes de la caixa sense mirar. Guanyes tu si són del mateix color i guanyo jo si són de colors diferents. És un joc just? 

Si un problema us interessa cliqueu a sobre i s'obrira una pàgina amb el problema i la possibilitat d'imprimir-lo, però a més trobareu un ellnaç directe al problema on trobareu les indicacions per professorat així com  vídeos o applets que l'acomapanyen 

Per accedir més llistes aneu a la pàgina general de pòsters aquí Hi trobareu propostes per a altres etapes i aspectes.

Els referents i el treball cooperatiu

La pàgina és molt completa i no te l'acabes en un any, però pot ser de gran ajuda. De totes maneres des de Puntmat llancem una idea: si utilitzeu algunes activitats de nrich i n'esteu contents, ara que tindreu menys alumnes per classe i estareu descansats, ens escriviu un mail a puntmat@gmail.com. Poseu-hi l'enllaç al problema que heu treballat i un full adjunt amb comentaris, fotografies o el que vulgueu, i sobretot la vostra opinió:perquè us ha agradat? No oblideu de posar el nivell en que s'ha treballat.
A final de curs farem un "rànquing" que publicarem en aquest bloc: i que vol ser una veritable guia de problemes experimentats a classe que pot servir per a millorar la nostra formació. Us esperem.

Una proposta de formació individual

Si la pàgina us ha agradat la podeu anar mirant periòdicament, però és molt millor fer un RSS, registrar-se per rebre la informació, o en aquest cas el més senzill fer-se'n seguidor en twitter per així rebre l'anunci de les novetats tant bon punt surten a la pàgina. Així sense esforç podeu anar incorporant idees noves de manera automàtica.
Us desitgem un bon curs malgrat l'entorn que ens espera.