18 de setembre de 2017

Els esquemes de Graham Fletchy

Fa uns dies, vam conèixer a través del sempre ben informat @druizaguilera aquesta sèrie de vídeos de @gfletchy que creiem que val la pena que recollim en un post ja que ens permeten reflexionar sobre la visió global que tenim sobre algunes temàtiques bàsiques de les matemàtiques en primària.
Sobre aquest vídeo volem destacar l'ús que fa de les fitxes amb cares de dos colors per treballar les descomposicions dels dígits (minut 6:55)
En aquest cas ens agraria destacar com utilitza la noció de "separar" per modelitzar la resta d'una manera que el portarà a fer transparent l'algoritme de la resta. (minut 4:50) 
Aquí destacarem l'ús que fa de la representació "pictòrica" com a pont entre el treball amb material manipulatiu i la representació simbòlica del treball fet amb el material (minut 3:40)
Deixant de banda que al final del vídeo dedica molt de temps a analitzar situacions que es fan més i més complexes a partir d'augmentar la quantitat de xifres del dividend i del divisor, que podria ser discutible, en aquest cas destaquem l'ús intensiu que fa del model rectangular de la multiplicació per recolzar els repartiments que involucren les divisions (minut 2:10)

A l'anàlisi que fa de l'estudi del significat, equivalència i comparació de fraccions destacarem la representació de fraccions sobre la línia numèrica des d'etapes molt més primerenques que les que acostumem a fer-ho per aquí.

Hi ha més informació sobre el treball de @gfletchy en el seu blog. Entre el seus posts destaquem especialment aquell en el que explica com es fan aquests vídeos.

12 de setembre de 2017

Mondrian i la dissecció d'un quadrat en rectangles


Composició en vermell, groc, blau i negre
Oli sobre tela, 59.5x59.5, Piet Mondrian, 1921
Inspirant-se en l'obra de Mondrian MathPickle ens proposa aquest problema que ha estat un èxit cada vegada que l'hem portat a l'aula:
  • Fes una graella de 10x10 
  • Divideix la graella en rectangles diferents. ACLARIMENT: no es poden fer servir dos rectangles iguals però sí que es poden fer servir dos rectangles diferents que tenen la mateixa àrea (per exemple, si hem utilitzat un rectangle de 2x3 no podem utilitzar un altre de 3x2 però sí un de 1x6) 
  • Acoloreix els rectangles seguint l’estètica del pintor Piet Mondrian. 
  • Calcula la diferència entre el nombre de quadrets del rectangle més gran i el del més petit.
REPTE INICIAL: Quina és la diferència més petita que podeu aconseguir?

Els alumnes de 6è de @escolasadako van gaudir molt amb el problema, encara que cap d'ells va aconseguir la menor diferència possible (8)


Alguns mestres del seminari "Gràcia Barri Matemàtic"ho van proposar als seus alumnes de Cicle Mitjà i van emplicar la seva experiència amb aquest problema al C2EM


Els mestres del departament Col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams també van proposar el problema als seus alumnes de Cicle Superior en el context del projecte Problemàtiques


Simon Gregg també va proposar aquest problema als seus alumnes



ANEM MÉS ENLLÀ
  • I si la graella inicial no és de 10x10 sinó de 4x4, 5x5, 6x6, …?
Així ho vam proposar als alumnes de 1r d'ESO de @escolasadako





MÉS REPTES
  • És cert que a mida que creix la mida de la graella inicial creix la solució òptima?
  • És cert que si la graella inicial és de nxn, la solució óptima és menor o igual que n?
Podeu trobar un recull de solucions més informació sobre el problema aquí, aquí i a aquí. En aquest últim enllaç trobareu aquest vídeo de Numberphile:




Al nostre blog tenim altres dos posts en que relacionem matemàtiques i art:
  • en un d'ells analitzem els quadrats màgics que apareixen en les obres de Durero i Subirachs
  • en l'altre aprofitem les escultures de Oldemberg per treballar la proporcionalitat geomètrica

5 de setembre de 2017

Puzzles & figures simètriques

Fa un temps el Don Steward va proposar en el seu blog Median una sèrie de puzzles (Three shapes) que vam trobar molt interessants i que vam portar a l'aula.
  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 




Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de 2n d'ESO van trobar de molta ajuda construir-se les peces pra manipular-les, però de tota manera havíen de registrar les solucions trobades sobre paper.

  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria









  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 


A la imatge es veuen 17 solucions però si considerem solucions diferents només les que deixen una figura final diferent independentment de la posició de les tres peces, les solucions són 12 (A B C D E I J K L M N O) perquè A=F, D=H, C=G=P i O=Q. Si a més exigim que dos quadrets han de compartir tot el costat hem d’eliminar: D, J, M Per tant, tindríem 9 solucions (A B C E I K L N O)

Els alumnes van trobar unes quantes d'aquestes solucions:


  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 




En el blog ORCA es pot veure com els fills de la Marleen van trobar aquestes solucions fent servir peces de Lego
En el Reflecting Squarely del projecte Nrich també trobem un problema d'aquest tipus amb les peces:


Allí es deixa molt clar que les peces s'han d'enganxar de manera que els vèrtxes de les tres figures han de ser punts de la graella i el contacte entre les peces no pot ser només el vèrtex. En aquestes condicions les solucions són nou. Trobem molt interessant les tasques d'ampliació que s'hi proposen:
  • Dissenya altres tres figures (la suma de les tres àrees no hauria de superar 10 quadradets) i calcula la quantitat de maneres en es poden disposar per fer formes simètriques
  • Pots trobar tres figures que donin lloc a més solucions que el cas original?
  • Pots trobar tres figures per a les quals no hi hagi solució?

1 de setembre de 2017

Avaluar el comptatge 3

Ja vam dedicar dos posts d’aquest blog al comptatge
  • En Avaluar el comptatge 1 i en Avaluar el comptatge 2 vam recordar les definicions de comptatge acústic i resultatiu i vam analitzar algunes activitats on es poden observar les destreses de comptatge de col·leccions petites sense interferència dels coneixement que els alumnes tinguin de la representació simbòlica dels nombres. 
  • En Inicis del comptatge vam analitzar el desenvolupament de les primeres destreses de comptatge acústic: comptar cap endavant d'un en un, dir el següent d’un nombre, dir l'anterior d’un nombre i comptar d’un en un cap enrere. 
Però aquests dos post estan lluny d’esgotar el tema del comptatge a Cicle nicial de Primària.
  • Respecte al comptatge acústic, no vam parlar, per exemple, que després de dominar el comptatge d’un en un, els alumnes també han d’aprendre a comptar cap endavant i cap enrere, de 10 en 10 o de 100 en 100. Destreses aquestes imprescindibles per càlculs mentals del tipus 27+30 recitant: 27, 37, 47, 57. 
  • Respecte al comptatge resultatiu, no vam analitzar, per exemple, que els alumnes han d’aprendre a utilitzar la desena com a unitat de comptatge quan la quantitat d’objectes a comptar comença a ser gran.
Ja emprendrem la tasca de completar l’estudi del comptatge en futurs posts, però avui, ens dedicarem a presentar una proposta d’avaluació de destreses de comptatge presentada dins del marc del projecte “123 Count with me” desenvolupat pel “Department of Education and Training” (Australia) en associació amb el laboratori “emlab” de la Facultat d’Educació de la Universitat de Wollongong. Es tracta de dos proves que s’apliquen, cadascuna d’elles, en dos moments del curs i permeten al mestre, no només, determinar el grau de domini de las diferents habilitats de comptatge sinó també valorar els progressos realitzats pel alumne.

Les proves esmentades es titulen “Schedule for Early Number Assessment” i actualment són accessibles des d'aquest enllaç.

Descripció de les preguntes relacionades amb el comptatge a la prova SENA 1: 
  • identificació de numerals (preguntes 1-18)
    • Es presenten a l'alumne, una a una i en ordre predeterminat, 18 targetes que presenten nombres entre 1-100 (10 d'ells en el rang 1-20) i se li demana que digui de quin nombre es tracta 
  • comptatge acústic cap endavant (preguntes 19-29)
    • Es demana a l'alumne que comenci a comptar primer a partir de l'1 i després a partir de dos nombres del rang 20-100. És el mestre qui indica a l'alumne quan aturar-se (en el primer cas, després d'haver superat un nombre gran que 20, en els altres dos casos, després que hagin dit 10 o 20 nombres ).
      • Es recomana al mestre que s'aturi quan l'alumne trobi dificultats i que prengui nota del nombre al qual va arribar.
    • Es demana a l'alumne que digui el següent de 8 nombres seleccionats en el rang 1-100 (4 d'ells en el rang 1-20). 
      • Es recomana al mestre que observi si dóna la impressió que l'alumne necessita recitar la sèrie de nombres des de l'1 o si és capaç de dir el següent de manera automàtica.
  • comptatge acústic cap enrere (preguntes 30-40)
    • Es demana a l'alumne que comenci a comptar cap enrere, primer a partir del 10 i després a partir de dos nombres grans que 10. És el mestre qui li diu quan aturar-se. 
      • Es recomana al mestre que no proposi les següents sèries si l'alumne té dificultats amb la primera 
    •  Es demana a l'alumne que digui l'anterior de 8 nombres seleccionats en el rang 1-100 (4 d'ells en el rang 1-20) 
      • Es recomana al mestre que observi si dóna la impressió que l'alumne ha de recitar la sèrie de nombres o si és capaç de dir l'anterior de manera automàtica. 
  •  comptatge resultatiu a "cop d’ull" (preguntes 41-46) 
    •  Es presenten a l'alumne, una a una i durant un parell de segons, 6 targetes: en dos d'elles apareix la cara d'un dau, en altres dues, alguns punts (menys de 6) però distribuïts sense seguir un patró ó i en les altres dues, una fitxa de dòmino (amb menys de 10 punts en cadascuna). Es pregunta a l’alumne quants punts veu en cada targeta. 
      •  Es recomana al mestre que pregunti, en el cas de les fitxes de dòmino com van trobar la resposta. 
  •  comptatge resultatiu (preguntes 47-49) 
    •  Es posen sobre la taula unes poques fitxes d'un mateix color i es demana a l'alumne que les compti. 
    •  S'allunyen les primeres fitxes, es col·loquen sobre la taula altres fitxes d'un color diferent al de les primeres i es demana a l'alumne que lliuri al mestre un nombre concret d'aquestes noves fitxes. 
    • S'ajunten les fitxes que ha lliurat l'alumne amb les primeres que teníem en un costat de la taula i se li pregunta quantes hi ha en total. 
En aquest vídeo podem veure un exemple d’aplicació de la prova SENA 1:

Descripció de les preguntes relacionades amb el comptatge a la prova SENA 2:
  •  identificació de numerals (preguntes 3-12) 
    • Es presenten a l'alumne, una a una i en ordre predeterminat, 10 targetes que presenten diferents nombres (dos menors que 100 i dos majors que 1000) i se li demana que digui de quina nombre es tracta 
  • comptatge acústic (preguntes 13-16) 
    • Es demana a l'alumne que comenci a comptar cap endavant de 10 en 10 partint, primer d'un nombre d'1 xifra i després d'un nombre de 3 xifres i cap a enrere, primer de 10 a 10 i després de 100 en 100 partint de dos nombres de tres xifres. És el mestre qui indica a l'alumne quan aturar-se.
  • comptatge resultatiu (alguns apartats de la pregunta 19)
    • Es col·loca sobre la taula una tira amb 4 punts i es demana a l'alumne que els compti.
    • A sota d'aquesta tira es col·loca una altra que l'alumne sap que té 10 punts i es pregunta quants punts hi ha en total.
    • A sota d'elles es col·loquen dues tires que l'alumne sap que tenen 10 punts cadascuna i es pregunta quants punts hi ha en total.
    • A sota d'elles es col·loquen dues tires, una de les que l'alumne sap que tenen 10 punts i l'altra de 4 punts i es pregunta quants punts hi ha en total. 
En aquests vídeos podem veure exemples d’aplicació de la pregunta 19 de SENA 2:
  

Amb aquestes preguntes es pretén saber on està cada alumne respecte als diferents aspectes del comptatge:
  • identificació de numerals
    • Reconeix els numerals d'1 a 10? d’1 a 20? d’1 a 100? d'1 a 1000?
  •  comptatge acústic cap endavant
    • Pot comptar d'1 a 10? Fins on pot seguir?
    • Sap dir el següent d'un nombre entre 1 i 10? I entre 1 i 20? I entre 1 i 100? Necessita comptar a partir de l'1 per poder donar la resposta? 
    • Pot comptar cap endavant a partir d'un nombre qualsevol? 
    • Pot comptar de 10 en 10 a partir d'un nombre qualsevol? I de 100 a 100?
  • comptatge acústic cap enrere
    • Sap dir l'anterior d'un nombre entre 1 i 10? I entre 1 i 20? I entre 1 i 100? Necessita comptar a partir de l'1 per poder donar la resposta? 
    • Pot comptar cap enrere a partir de 10? I a partir d'un nombre qualsevol menor que 20? I d'un nombre qualsevol menor que 100? 
    • Pot comptar cap enrere de 10 en 10 a partir d'un nombre qualsevol? I de 100 a 100?
  • comptatge resultatiu a "cop d’ull"
    • Pot reconèixer quantitats petites a cop de vista sense comptar els elements un a un?
    • En el cas de les fitxes de dòmino: pot reconèixer simultàniament tant les dues quantitats que hi apareixen a la fitxa com la quantitat total?
  • comptatge resultatiu
    • Pot coordinar la seqüència del comptatge acústic amb cada un dels objectes que està comptant? Necessita tocar els objectes per poder comptar-los?
    • En el cas de les tires de punts: reconeix a la desena com una unitat i utilitza el comptatge acústic de 10 en 10 per comptar el total de punts?

24 de juny de 2017

Pràctica productiva: restes (3)

A l'igual que Pràctica produtiva: restes (2) i a diferència de Pràctica produtiva: restes (1), la tasca sobre la que parlarem en aquest post forma part de l'article de @suma_fespm "Tareas ricas para practicar las restas"

Aquesta tasca està inspirada en el problema anomenat Diffy que ja vam comentar al post Pràctica productiva i pràctica reproductiva però amb una formulació diferent, més propera a l’estudi realitzat pel matemàtic E. Ducci en 1930 que va trobar que sense importar els nombres d’inici sempre s’arriba a quatre zeros (Font: Cut the knot)

Farem diagrames amb les normes següents:
  • en totes les files hi ha 4 cel·les en cada cel·la, 
  • a partir de la segona fila, has d’escriure la diferència entre les dues cel·les que té immediatament a sobre 
  • en el cas de l’última cel·la de cada fila la diferència l’has de fer entre el últim i el primer nombre de la fila anterior
  • el diagrama acaba quan en tota la fila s’obtenen zeros
Exemple: començant amb els nombres 4, 1, 6 i 2 el diagrama té 5 files
En el context del projecte Problemàtiques alguns mestres del departament col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams vam proposar a alumnes del cicle superior de Primària que triessin nombres de la primera fila perquè el diagrama tingués la major quantitat de files que puguessin aconseguir. L'activitat va ser un èxit, ja que va engrescar molt als alumnes.

A la següent imatge podeu veure l'anàlisi d'una alumna sobre com afecta l'ordre dels nombres de la primera fila a la quantitat de files del diagrama
En aquesta línia, alguns alumnes van voler analitzar totes les 24 possibles distribucions dels 4 nombres en la fila inicial, sense adonar-se que, per simetries i girs, en realitat només cal estudiar tres distribucions diferents i no més.

Els alumnes als que vam proposar el repte no van aconseguir diagrames de més de 8 files (val a dir que van trobar moltes quaternes diferents que generaven diagrames d’aquesta mida) possiblement perquè a partir de l'exemple, van creure que els nombres inicials havien de ser menors que 10.
Però el cert és que hi ha diagrames de tantes files com es vulgui. Per exemple:
  • començant amb els nombres 1, 15, 30 i 60 el diagrama té 10 files
  • començant amb els nombres 0, 653, 1854 i 4063 el diagrama té 24 files
Altres comentaris:
  • Es pot preguntar quin és el diagrama en el que aconsegueixin que hi hagi nombres senars en major quantitat de files. El cert és que a partir de la cinquena fila mai queden nombres senars però es poden triar quaternes en que quedi algun senar fins a la 4a fila (per exemple: 2 4 6 7 → 2 2 1 5 → 0 1 4 5 → 1 3 1 3 → ...) Font: D. Shapiro
  • Es pot proposar als alumnes que analitzin el joc quan en lloc de diagrames que tenen 4 nombres per fila en tenen altres quantitats. La conclusió de que sempre s’arriba a tots zeros pot deixar de ser certa Per exemple, per diagrames de 3 nombres per fila es pot entrar en un bucle 1 2 2 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1... Acabem sempre amb el cicle aa0 → a0a → 0aa on a és el mcd dels nombres diferents de zero de la primera fila.
  • Es pot demanar als alumnes que comparin un diagrama i el que resulta de sumar, restar o multiplicar a tots els nombres de la quaterna inicial per un mateix nombre.
  • Don Steward proposa comprovar que si els 4 nombres inicials estan en progresió aritmètica la quantitat de files és sempre la mateixa (6), investigar què passa quan els 4 nombres inicials són quadrats consecutius, són nombres triangulars consecutius, són termes de Fibonacci, etc o estudiar què passa si a tots els nombres de la quaterna els multipliquem o els sumem un mateix nombre
  • Es pot demanar als alumnes que per a la quaterna inicial triïn nombres que no siguin enters. En aquest sentit, a 4t d'ESO de @escolasadako, aquest any vam proposar als alumnos experimentar amb nombres irracionals


Val la pena analitzar que la petita quantitat de files també es dóna quan totes les entrades són irracionals. Aquí veiem l'anàlisi de la situació amb tres irracionals:


A la dreta apareixen les aproximacions decimals dels valors de cada cel·la per guiar la decisió de quin nombre és més gran i així decidir si es resta a-b o b-a.

2 de maig de 2017

Les sumes fins a 20

Ja fa temps, en una trobada molt interessant amb la gent de l'Escola Miquel Martí i Pol de Barberà del Vallès,vàrem parlar del domini necessari de les habilitats bàsiques, en aquest cas concret les descomposicions del 10. Van sortir idees interessants a la conversa, que finalment hem decidit escriure en el present post, ampliant el tema a les sumes fins a 20.

Suma de dígits
Les sumes de dos nombres més petits que 10, són molt interessants des del punt de vista dels inicis del càlcul, ja que es treballen les primeres estratègies. Per comptar quants cubets hi ha en total, si ajuntem dues col·leccions: una de 3 i una de 6 cubets, tres de les estratègies utilitzades per nens petits són:
  • comptar-los tots: l'alumne compta 1, 2, 3 i continua 4, 5, 6, 7, 8, 9
  • començar pel primer: comença per "encapsular" el tres (el primer sumand) i continua comptant amunt: 4, 5, 6, 7, 8 i 9
  • començar pel més gran: sap que 3+6 és el mateix que 6+3, "encapsula" el sis i continua comptant amunt: 7, 8 i 9
També pot passar que algun alumne pensi que 3+6 és el mateix que 5+4 que pot ser un resultat que sàpiga de memòria perquè sap que cinc dits d'una mà i quatre d'altre és el que fa servir per representar el nombre 9 amb els dits. Això ens indica que l'alumne entra en la fase de derivar fets, és a dir "cridar" a un fet conegut per solucionar un fet del que no s'està completament segur.

Organitzar les sumes de dígits:
Seria bo establir un dispositiu de cara al mestre que aprofiti aquestes primeres estratègies emergents i que destaqui el treball de derivar fets de manera organitzada:
  • Partint de les estratègies naturals dels alumnes mitjançant el plantejament de situacions "riques" i contextualitzades que promoguin l'ús d'estratègies personals
  • Passant de comptar-los tots a començar pel primer
  • Introduint l'estratègia començar pel més gran
  • Identificant els primers "fets coneguts"(sumes de les que l'alumne pot dir el resultat "de cap")
  • Fomentant la deducció de nous fets a partir dels fets coneguts: "fets derivats", establint connexions entre els que ja pot dir "de cap" i el que encara no (fase d'automatització de les sumes de dígits)
Els tres primers punts són força coneguts per tothom, però la mentalitat dels dos últims, en el que recolza la memorització en la deducció és la clau de volta per a un aprenentatge intel·ligent. Cal dir que aquesta estratègia de deduir fets, hi ha força alumnes que l'apliquen de manera natural però aquí estem parlant de explicitar aquesta estratègia, discutir-la amb els alumnes i fomentar-la en l'aula. L'objectiu és que els alumnes passin de calcular comptant a calcular sense comptar.

Un dispositiu com el que ens interessa, que ens dona pistes per organitzar aquests aprenentatges, podria ser el següent:

Sumes +1 i +2
És important que l'alumne identifiqui "sumar 1" amb "dir el següent" i "sumar 2" amb "dir el següent del següent".

Sumes fàcils fins a 10
La part pintada de carbassa correspon a "sumes fàcils fins al 10 amb el gran al davant", un tipus de suma a les que hem de donar molta presència en la nostra aula.
Un cop apreses aquestes sumes, la part lila es pot aprendre deduint fets: 3+7 a partir de 7+3, per exemple.

Sumes dobles i quasi dobles
L'aprenentatge dels dobles (en verd) forma part dels aprenentatges bàsics. Amb aquesta base, els alumnes poden deduir els "quasi dobles" (en lila). En aquest sentit, val la pena veure de nou el vídeo que Carme Barba va gravar amb alumnes de 6 anys, alguns dels quals fan servir aquesta potent estratègia.

Sumes amb resultat 10 i més gran
La part taronja correspon a sumes de resultat 10, un conjunt de sumes per a les quals l'agrupació dels dits de les dues mans són el suport fonamental. La part pintada de lila pot ser resolta per "fets coneguts-fets derivats". L'estratègia fonamental per a aquestes deduccions és l'anomenada "pas pel 10". Per exemple, per sumar 6+8, descomposem el segon sumand en 4+4 (triem aquesta descomposició del 8 perquè a 6 li falten 4 per arribar al 10) i fem 6+4=10 i 10+4=14. Vam comentar aquesta estratègia als posts Un material que ensenya i Aritmètica al marge dels algorismes.
Referències:
  • Torbeyns, J., Verschaffel, L., Ghesquière, P. (2002). Strategic competence: Applying Siegler’s theoretical and methodological framework to the domain of simple addition. European Journal of Psychology of Education, 17(3), 275.
  • Van den Heuvel-Panhuizen, M., TAL Team. (2008). Children learn mathematics: A learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for calculation with whole numbers in primary school. Sense Publishers.
Com haureu observat, per a moltes de les sumes hi ha més d'una estratègia per fer-la. És molt possible que en arribar a les sumes entre 10 i 20 certs alumnes les sàpiguen fer, sense ajuda, però n'hi haurà que no, i això els portarà a aplicar de nou estratègies conegudes (posar el gran al davant) però no assolides.

Estratègies alternatives
Aquest "camí d'assoliment d'estratègies de càlcul" ens pot ajudar molt a crear una bona base pel càlcul, però paral·lelament hi ha un altre punt important, i segurament el més matemàtic de tots: la utilització d'estratègies alternatives o personals. Un exemple seria que per sumar 7+9, un alumne sumés 10 i restés un..."perquè li és més fàcil" Aquests descobriments matemàtics s'han de celebrar! ... sempre que siguin eficaços.

Un altre exemple el tenim en l'estratègia que fa servir l'última nena del vídeo de la Carme Barba esmentat a dalt. Fixeu-vos que en aquest cas la nena ha utilitzat una "estratègia de compensació" buscant un fet conegut (4+3) traient una unitat del primer nombre per a afegir-li al segon.

La pràctica d'aquestes sumes
De vegades entendre la suma solament com a operació a resoldre i no anar més enllà ens tanca maneres de mirar. Podem pensar que la suma és una relació que aglutina els nombres de tres en tres. Així per exemple, el 10 el 3 i el 7 sempre van junts. Aquesta idea es pot representar en un triangle, en el que tapant un dels tres nombres cal trobar el que falta.

Informació al post:Triangles aritmètics 1 (descomposició de dígits)
Aquesta encapsulació de tres nombres en una terna també presenta idees interessants de cara al treball amb les restes ja que es dona el cas que alumnes que dominin perfectament i amb rapidesa el triangle (14,8,6), sabran que 14-8=6 i 14-6= 8.

Hem de tenir en compte que en practicar aquestes sumes i fomentar l'encapsulació, no es tracta d'anar proposant moltíssimes sumes fins que les aprenguin de memòria sinó de generar un treball on cada alumne es vagi plantejant preguntes com aquestes:
  • Quines són les sumes que em sé?
  • Quines les que tinc dubtes? Com puc fer per aprendre-les? Amb quina suma que ja sé puc relacionar-la?
No podem limitar l'adquisició d'aquests automatismes a sessions específiques de càlcul. Cal aprofitar altres activitats, que facin pràctica en un ambient de resolució de problemes. Per exemple, la que vam relatar en el post Construir cases

Tornem al començament
La conversa amb les mestres va ser interessant i desafiant, va plantejar preguntes importants.
  • En una escola que es treballa per projectes, com es pot treballar l'adquisició d'aquestes habilitats?
  • Hi caben tasques amb un objectiu específic com l'aprenetatge de calcular sense comptar, que es desenvolupin en paral·lel, fins i tot, anant més enllà en el temps que la finalització del projecte?
  • Metodològicament, com s'haurien de plantejar aquestes tasques de manera que l'ambient de classe no sigui "diferent" quan fem treball específic matemàtiques? Com podem fer perquè la pràctica d'aquestes habilitats bàsiques no es visqui com a una proposta de tasques per memoritzar sumes? És possible? Des del Puntmat pensem que si, però necessitem discutir-ho amb vosaltres.

17 d’abril de 2017

Projecte Espiral: recuperem cert passat?

Mirar el passat, des del present

L'anècdota


No fa massa temps vàrem rebre un correu d'en Dani Ruiz: tant ell com na Maria Ángels Rueda, van sortir emocionadíssims de la seva visita al "Gamar" i no sense raó, la Maria Antònia Canals és una crack.











Una de les activitats que els va agradat molt era la següent:



Pel seu disseny, una representació gràfica enlloc d'enunciat, i pel tipus d'activitat presentada, en veure-la ens va venir a la memòria la magnífica proposta que l'Editorial Vicens Vives va publicar al 1976, una col·lecció de llibres de text per primària, amb autors de primera fila d'aquell moment en Didàctica de les Matemàtiques: el projecte "Espiral".

Nota: Ens referim aquí a la col·lecció escrita per Agustí, Kauffman, Klein, Martin, Papy i Vanderput. 
No confondre-la amb les col·leccions posteriors de llibres de text de l'editorial que tenen el mateix títol. 

Aquest projecte presenta un canvi radical, on una de les principals característiques de canvi (cal tenir en compte que era la època en la que la "teoria de conjunts" va fer acte de presència) va consistir en la utilització de llenguatges gràfics per fer arribar aquelles idees abstractes als alumnes de Primària, com per exemple:
  • Els diagrames de Venn com a representació gràfica dels conjunts (utilitzada, encara avui, per treballar certs aspectes com per exemple la idea de màxim comú divisor, tal com ho vam comentar al post Un algorisme més transparent per calcular el MCD i el mcm)
  • La reflexió sobre què és un sistema de numeració treballant amb bases diferents (d'aquí l'aparició del material multibase). En aquest sentit, la minicomputadora de Papy (una barreja entre base 10 i base 2) és un dels punts forts de la proposta
  • La utilització de fletxes per representar les relacions, en el sentit de teoria de conjunts, i que identificaríem actualment amb les classificacions i les ordenacions
En aquest post ens centrarem, solament, en les activitats en que s'utilitza el llenguatge gràfic de les fletxes.

ACTIVITAT 1: ESPIRALS

Aquest és un exemple d'una activitat del llibre, en el que l'aspecte gràfic hi jugava un paper important. Prova d'això és que aquesta activitat del llibre de primer de ocupava tota la pàgina. 
Segueixen sent vàlides aquest tipus d'activitats? Segurament si ja que planteja seguir una sèrie, i aquest tipus d'activitats de pràctica continuen fent-se. Però l'activitat pot anar molt més enllà: plantejant-la d'una manera que ara anomanaríem "més rica" enfocant-la com a repte a resoldre, dinamitzant la classe a partir de preguntes:
  • El 21 estarà amagat en aquesta espiral? i el 23?
  • El 366 hi estaria amagat si l'allarguem?
  • Quins nombres no hi sortiran? Per què?
L'estratègia d'anar escrivint els nombres que falten a l'espiral és vàlida, però poc "matemàtica". Cal buscar estratègies diferents més eficients, per exemple en aquest cas: esbrinar què passa quan et fixes en quins són els nombres que surten al final de les fletxes vermelles o de les verdes. No és complicat descobrir un patró: els nombres que ocupen la punta de les fletxes verdes són els de la taula del 3, i fins i tot poden arribar a justificar-lo: "si sortim del 0, i la fletxa vermella val 1 i la verda 2, les dues juntes arriben al 3". Sabent això, alguns dels alumnes poden arribar a intuir que una divisió els pot ajudar a decidir de manera segura si el nombre surt o no a l'espiral i plantejar una conjectura
  • si dividit per tres dóna residu zero, segur que estarà a l'espiral al final d'una fletxa verda
  • si dona residu 1, estarà a l'espiral al final d'una fletxa vermella
  • si dóna residu 2, el nombre no apareixerà a l'espiral

ACTIVITAT 2: QUADERNS COMPLEMENTARIS

Aquests quaderns que acompanyen al llibre són activitats setmanals de pràctiques que giren entorn d'un nombre, al que han de localitzar en cadascuna de les pàgines. Presentem dos exemples:

El quadern del 20

Aquest quadernet comença amb la següent activitat "El nombre 20 està amagat en algunes de les pàgines d'aquest quadern i en algunes altres no. Intenta trobar el seu amagatall. Si no pots completa el dibuix fins trobar-lo". Trobem genial la idea que el nombre hi pugui estar o no en una pàgina!!
Com seria la discussió? Quines preguntes s'haurien de plantejar els alumnes? Si el que volem es treballar en un ambient de resolució de problemes i no solament exercitar sèries, la idea seria plantejar-se en quin dels dos camis podria estar el 20 i una resposta podria ser "a la de dalt no hi pot estar perquè si sortim del 3 i sumem sempre 2 ens sortiran sempre nombres senars i el 20 es parell" A partir d'aquí ens plantegem: sabem que pot estar, a la del 6, però hi serà? Aquí poden comptar de dos en dos o veure que hi ha 5 punts després del 6 que representen un salt de 10 i per la qual cosa arribaran al 16... però el 20 no hi és!

El quadern del 37

El mateix tipus d'activitat pot ser més complexa, com veiem en aquestes dues pàgines del quadernet dedicat al número 37

  • Activitat "+3": El "detall" de donar com a dada nombres consecutius posats a la mateixa altura en camins diferents (29 i 30, 32 i 33) no és innocent, ja que suggereix el patró: els nombres consecutius apareixen sempre a la mateixa altura, per tant, podran conjecturar que el 37 estarà al camí de la dreta al costat del 36 i confirmar-lo comptant enrere de 3 en 3 a partir del 46.
  • Activitat "+5": Els nombres que apareixen al primer camí acaben en 0 o 5, al segon, en 1 o 6, al tercer, en 2 o 7, etc. Per tant, si el 37 està amagat en aquesta pàgina estaria en el tercer camí. Partim del 57 i saltem enrere considerant que cada dos punts retrocedim deu unitats: 57, 47, 37 i trobem l'amagatall.
Com activitat d'ampliació, podem demanar que s'inventin un problema en el que calgui localitzar un nombre amagat. En els "camins del +6" per exemple, quants camins cal dibuixar? La resposta a aquesta pregunta ens portarà a pensar en els possibles residus de la divisió entre 6 i que en aquest cas, evidentment seran 6. Podeu veure més activitats amb fletxes dels quaderns premeu aquest enllaç

I PARLANT D'ESPIRALS...

  1. En el quadern 1 de la sèrie 3x6.mat editats per Barcanova vam proposar un repte amb espirals anomenant-los "ensaïmades matemàtiques"
  2. Una de les activitats de "pràctica" (que podríem qualificar com a pràctica lúdica) per a treballar ordenació de nombres és un joc per dos jugadors consistent en: donada una llista de nombres decimals,
  • el primer jugador en tria un i col·loca (aproximadamanent) una marca en una línia, escrivint el nombre. 
  • el segon jugador tria un segon nombre i el col·loca a la dreta o l'esquerra del nombre que ha col·locat el primer, 
  • després torna a jugar el primer, i el segon, etc. Guanya qui posa tres marques seguides. 
El joc és entretingut i permet analitzar l'existència d'estratègies però l'altre dia vàrem plantejar als alumnes de 6è la versió que el projecte Nrich proposa a Spiralling Decimals. Allí es canvia una línia numèrica habitual per una espiral i, potser per la novetat o pel major repte involucrat, el resultat va ser molt més interessant!