10 de gener de 2018

Pràctica de divisions decimals

Després d'haver introduït la divisió decimal fent repartiments de diners i d'anar, poc a poc, independizant-se del context arriba el moment de practicar el procediment. Aquesta pràctica es pot en un fer en un ambient de resolució de problemes a partir de la proposta de petites investigacions. A continuació relatem un exemple portat a l'aula.

Primer de tot es van proposar unes quantes divisions de nombres enters de dues xifres entre 9 (23:9, 32:9, 45:9, 56:9, 65:9, 71:9 i 17:9) i a partir dels resultats obtinguts es va veure que és molt habitual que el resultat sigui un decimal periòdic i que el període no canvia quan s’invertien les xifres del dividend. Com a ampliació a aquesta primera tasca es va suggerir una pregunta: passarà el mateix amb nombres de tres xifres?

En la discusió de tancament de la tasca es va concluoure que en dividir un nombre natural entre 9 havia dos possibilitats: el resultat era un nombre enter o el resultat era un nombre decimal periòdic i que aquest periode coincidia amb el residu de la divisió entera


Després del treball fet amb el divisor 9 es va proposar investigar que passava amb altres divisors Què passa en dividir un nombre enter entre 3? Quines possibilitats hi ha? 
 


Què passa en dividir un nombre enter entre 2? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 4? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 5? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 6? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 8? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 7? Quines possibilitats hi ha?


Com sempre que fem investigacions hem de tenir clar que les conclusions a les que arribem són conjectures que poden ser molt febles si els experiments que fem són pocs o poc representatius.


Cometre errades en aquest tipus de context no ha desanimar a cap alumne per dos motius: l’objectiu de practicar divisions decimals ha estat plenament assolit i cometent aquest tipus d’errades ens apropem a entendre com es validen les afirmacions matemàtiques.

Una altra qüestió que ens vam plantejar era analitzar com es feien aquestes divisions amb calculadora. Vam començar plantejant quatre divisions:


I vam preguntar què tenien en comú els resultats obtinguts:


A continuació vam proposar que fessin les mateixes divisions amb calculadora i van trobar un resultat que els va sorprendre molt:



Inspirats en la tasca Noodle Whack, per acabar la classe vam proposar que els alumnes, amb l’ajuda de la calculadora i el que havien après sobre com s’han de llegir els resultats que dóna aquesta eina, trobessin noves divisions entre nombres enters que tinguessin un quocient decimal format per una mateixa xifra repetida:

18 de setembre de 2017

Els esquemes de Graham Fletchy

Fa uns dies, vam conèixer a través del sempre ben informat @druizaguilera aquesta sèrie de vídeos de @gfletchy que creiem que val la pena que recollim en un post ja que ens permeten reflexionar sobre la visió global que tenim sobre algunes temàtiques bàsiques de les matemàtiques en primària.
Sobre aquest vídeo volem destacar l'ús que fa de les fitxes amb cares de dos colors per treballar les descomposicions dels dígits (minut 6:55)
En aquest cas ens agraria destacar com utilitza la noció de "separar" per modelitzar la resta d'una manera que el portarà a fer transparent l'algoritme de la resta. (minut 4:50) 
Aquí destacarem l'ús que fa de la representació "pictòrica" com a pont entre el treball amb material manipulatiu i la representació simbòlica del treball fet amb el material (minut 3:40)
Deixant de banda que al final del vídeo dedica molt de temps a analitzar situacions que es fan més i més complexes a partir d'augmentar la quantitat de xifres del dividend i del divisor, que podria ser discutible, en aquest cas destaquem l'ús intensiu que fa del model rectangular de la multiplicació per recolzar els repartiments que involucren les divisions (minut 2:10)

A l'anàlisi que fa de l'estudi del significat, equivalència i comparació de fraccions destacarem la representació de fraccions sobre la línia numèrica des d'etapes molt més primerenques que les que acostumem a fer-ho per aquí.

Hi ha més informació sobre el treball de @gfletchy en el seu blog. Entre el seus posts destaquem especialment aquell en el que explica com es fan aquests vídeos.

12 de setembre de 2017

Mondrian i la dissecció d'un quadrat en rectangles


Composició en vermell, groc, blau i negre
Oli sobre tela, 59.5x59.5, Piet Mondrian, 1921
Inspirant-se en l'obra de Mondrian MathPickle ens proposa aquest problema que ha estat un èxit cada vegada que l'hem portat a l'aula:
  • Fes una graella de 10x10 
  • Divideix la graella en rectangles diferents. ACLARIMENT: no es poden fer servir dos rectangles iguals però sí que es poden fer servir dos rectangles diferents que tenen la mateixa àrea (per exemple, si hem utilitzat un rectangle de 2x3 no podem utilitzar un altre de 3x2 però sí un de 1x6) 
  • Acoloreix els rectangles seguint l’estètica del pintor Piet Mondrian. 
  • Calcula la diferència entre el nombre de quadrets del rectangle més gran i el del més petit.
REPTE INICIAL: Quina és la diferència més petita que podeu aconseguir?

Els alumnes de 6è de @escolasadako van gaudir molt amb el problema, encara que cap d'ells va aconseguir la menor diferència possible (8)


Alguns mestres del seminari "Gràcia Barri Matemàtic"ho van proposar als seus alumnes de Cicle Mitjà i van emplicar la seva experiència amb aquest problema al C2EM


Els mestres del departament Col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams també van proposar el problema als seus alumnes de Cicle Superior en el context del projecte Problemàtiques


Simon Gregg també va proposar aquest problema als seus alumnes



ANEM MÉS ENLLÀ
  • I si la graella inicial no és de 10x10 sinó de 4x4, 5x5, 6x6, …?
Així ho vam proposar als alumnes de 1r d'ESO de @escolasadako





MÉS REPTES
  • És cert que a mida que creix la mida de la graella inicial creix la solució òptima?
  • És cert que si la graella inicial és de nxn, la solució óptima és menor o igual que n?
Podeu trobar un recull de solucions més informació sobre el problema aquí, aquí i a aquí. En aquest últim enllaç trobareu aquest vídeo de Numberphile:




Al nostre blog tenim altres dos posts en que relacionem matemàtiques i art:
  • en un d'ells analitzem els quadrats màgics que apareixen en les obres de Durero i Subirachs
  • en l'altre aprofitem les escultures de Oldemberg per treballar la proporcionalitat geomètrica

5 de setembre de 2017

Puzzles & figures simètriques

Fa un temps el Don Steward va proposar en el seu blog Median una sèrie de puzzles (Three shapes) que vam trobar molt interessants i que vam portar a l'aula.
  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 




Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de 2n d'ESO van trobar de molta ajuda construir-se les peces pra manipular-les, però de tota manera havíen de registrar les solucions trobades sobre paper.

  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria









  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 


A la imatge es veuen 17 solucions però si considerem solucions diferents només les que deixen una figura final diferent independentment de la posició de les tres peces, les solucions són 12 (A B C D E I J K L M N O) perquè A=F, D=H, C=G=P i O=Q. Si a més exigim que dos quadrets han de compartir tot el costat hem d’eliminar: D, J, M Per tant, tindríem 9 solucions (A B C E I K L N O)

Els alumnes van trobar unes quantes d'aquestes solucions:


  • Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 




En el blog ORCA es pot veure com els fills de la Marleen van trobar aquestes solucions fent servir peces de Lego
En el Reflecting Squarely del projecte Nrich també trobem un problema d'aquest tipus amb les peces:


Allí es deixa molt clar que les peces s'han d'enganxar de manera que els vèrtxes de les tres figures han de ser punts de la graella i el contacte entre les peces no pot ser només el vèrtex. En aquestes condicions les solucions són nou. Trobem molt interessant les tasques d'ampliació que s'hi proposen:
  • Dissenya altres tres figures (la suma de les tres àrees no hauria de superar 10 quadradets) i calcula la quantitat de maneres en es poden disposar per fer formes simètriques
  • Pots trobar tres figures que donin lloc a més solucions que el cas original?
  • Pots trobar tres figures per a les quals no hi hagi solució?

1 de setembre de 2017

Avaluar el comptatge 3

Ja vam dedicar dos posts d’aquest blog al comptatge
  • En Avaluar el comptatge 1 i en Avaluar el comptatge 2 vam recordar les definicions de comptatge acústic i resultatiu i vam analitzar algunes activitats on es poden observar les destreses de comptatge de col·leccions petites sense interferència dels coneixement que els alumnes tinguin de la representació simbòlica dels nombres. 
  • En Inicis del comptatge vam analitzar el desenvolupament de les primeres destreses de comptatge acústic: comptar cap endavant d'un en un, dir el següent d’un nombre, dir l'anterior d’un nombre i comptar d’un en un cap enrere. 
Però aquests dos post estan lluny d’esgotar el tema del comptatge a Cicle nicial de Primària.
  • Respecte al comptatge acústic, no vam parlar, per exemple, que després de dominar el comptatge d’un en un, els alumnes també han d’aprendre a comptar cap endavant i cap enrere, de 10 en 10 o de 100 en 100. Destreses aquestes imprescindibles per càlculs mentals del tipus 27+30 recitant: 27, 37, 47, 57. 
  • Respecte al comptatge resultatiu, no vam analitzar, per exemple, que els alumnes han d’aprendre a utilitzar la desena com a unitat de comptatge quan la quantitat d’objectes a comptar comença a ser gran.
Ja emprendrem la tasca de completar l’estudi del comptatge en futurs posts, però avui, ens dedicarem a presentar una proposta d’avaluació de destreses de comptatge presentada dins del marc del projecte “123 Count with me” desenvolupat pel “Department of Education and Training” (Australia) en associació amb el laboratori “emlab” de la Facultat d’Educació de la Universitat de Wollongong. Es tracta de dos proves que s’apliquen, cadascuna d’elles, en dos moments del curs i permeten al mestre, no només, determinar el grau de domini de las diferents habilitats de comptatge sinó també valorar els progressos realitzats pel alumne.

Les proves esmentades es titulen “Schedule for Early Number Assessment” i actualment són accessibles des d'aquest enllaç.

Descripció de les preguntes relacionades amb el comptatge a la prova SENA 1: 
  • identificació de numerals (preguntes 1-18)
    • Es presenten a l'alumne, una a una i en ordre predeterminat, 18 targetes que presenten nombres entre 1-100 (10 d'ells en el rang 1-20) i se li demana que digui de quin nombre es tracta 
  • comptatge acústic cap endavant (preguntes 19-29)
    • Es demana a l'alumne que comenci a comptar primer a partir de l'1 i després a partir de dos nombres del rang 20-100. És el mestre qui indica a l'alumne quan aturar-se (en el primer cas, després d'haver superat un nombre gran que 20, en els altres dos casos, després que hagin dit 10 o 20 nombres ).
      • Es recomana al mestre que s'aturi quan l'alumne trobi dificultats i que prengui nota del nombre al qual va arribar.
    • Es demana a l'alumne que digui el següent de 8 nombres seleccionats en el rang 1-100 (4 d'ells en el rang 1-20). 
      • Es recomana al mestre que observi si dóna la impressió que l'alumne necessita recitar la sèrie de nombres des de l'1 o si és capaç de dir el següent de manera automàtica.
  • comptatge acústic cap enrere (preguntes 30-40)
    • Es demana a l'alumne que comenci a comptar cap enrere, primer a partir del 10 i després a partir de dos nombres grans que 10. És el mestre qui li diu quan aturar-se. 
      • Es recomana al mestre que no proposi les següents sèries si l'alumne té dificultats amb la primera 
    •  Es demana a l'alumne que digui l'anterior de 8 nombres seleccionats en el rang 1-100 (4 d'ells en el rang 1-20) 
      • Es recomana al mestre que observi si dóna la impressió que l'alumne ha de recitar la sèrie de nombres o si és capaç de dir l'anterior de manera automàtica. 
  •  comptatge resultatiu a "cop d’ull" (preguntes 41-46) 
    •  Es presenten a l'alumne, una a una i durant un parell de segons, 6 targetes: en dos d'elles apareix la cara d'un dau, en altres dues, alguns punts (menys de 6) però distribuïts sense seguir un patró ó i en les altres dues, una fitxa de dòmino (amb menys de 10 punts en cadascuna). Es pregunta a l’alumne quants punts veu en cada targeta. 
      •  Es recomana al mestre que pregunti, en el cas de les fitxes de dòmino com van trobar la resposta. 
  •  comptatge resultatiu (preguntes 47-49) 
    •  Es posen sobre la taula unes poques fitxes d'un mateix color i es demana a l'alumne que les compti. 
    •  S'allunyen les primeres fitxes, es col·loquen sobre la taula altres fitxes d'un color diferent al de les primeres i es demana a l'alumne que lliuri al mestre un nombre concret d'aquestes noves fitxes. 
    • S'ajunten les fitxes que ha lliurat l'alumne amb les primeres que teníem en un costat de la taula i se li pregunta quantes hi ha en total. 
En aquest vídeo podem veure un exemple d’aplicació de la prova SENA 1:

Descripció de les preguntes relacionades amb el comptatge a la prova SENA 2:
  •  identificació de numerals (preguntes 3-12) 
    • Es presenten a l'alumne, una a una i en ordre predeterminat, 10 targetes que presenten diferents nombres (dos menors que 100 i dos majors que 1000) i se li demana que digui de quina nombre es tracta 
  • comptatge acústic (preguntes 13-16) 
    • Es demana a l'alumne que comenci a comptar cap endavant de 10 en 10 partint, primer d'un nombre d'1 xifra i després d'un nombre de 3 xifres i cap a enrere, primer de 10 a 10 i després de 100 en 100 partint de dos nombres de tres xifres. És el mestre qui indica a l'alumne quan aturar-se.
  • comptatge resultatiu (alguns apartats de la pregunta 19)
    • Es col·loca sobre la taula una tira amb 4 punts i es demana a l'alumne que els compti.
    • A sota d'aquesta tira es col·loca una altra que l'alumne sap que té 10 punts i es pregunta quants punts hi ha en total.
    • A sota d'elles es col·loquen dues tires que l'alumne sap que tenen 10 punts cadascuna i es pregunta quants punts hi ha en total.
    • A sota d'elles es col·loquen dues tires, una de les que l'alumne sap que tenen 10 punts i l'altra de 4 punts i es pregunta quants punts hi ha en total. 
En aquests vídeos podem veure exemples d’aplicació de la pregunta 19 de SENA 2:
  

Amb aquestes preguntes es pretén saber on està cada alumne respecte als diferents aspectes del comptatge:
  • identificació de numerals
    • Reconeix els numerals d'1 a 10? d’1 a 20? d’1 a 100? d'1 a 1000?
  •  comptatge acústic cap endavant
    • Pot comptar d'1 a 10? Fins on pot seguir?
    • Sap dir el següent d'un nombre entre 1 i 10? I entre 1 i 20? I entre 1 i 100? Necessita comptar a partir de l'1 per poder donar la resposta? 
    • Pot comptar cap endavant a partir d'un nombre qualsevol? 
    • Pot comptar de 10 en 10 a partir d'un nombre qualsevol? I de 100 a 100?
  • comptatge acústic cap enrere
    • Sap dir l'anterior d'un nombre entre 1 i 10? I entre 1 i 20? I entre 1 i 100? Necessita comptar a partir de l'1 per poder donar la resposta? 
    • Pot comptar cap enrere a partir de 10? I a partir d'un nombre qualsevol menor que 20? I d'un nombre qualsevol menor que 100? 
    • Pot comptar cap enrere de 10 en 10 a partir d'un nombre qualsevol? I de 100 a 100?
  • comptatge resultatiu a "cop d’ull"
    • Pot reconèixer quantitats petites a cop de vista sense comptar els elements un a un?
    • En el cas de les fitxes de dòmino: pot reconèixer simultàniament tant les dues quantitats que hi apareixen a la fitxa com la quantitat total?
  • comptatge resultatiu
    • Pot coordinar la seqüència del comptatge acústic amb cada un dels objectes que està comptant? Necessita tocar els objectes per poder comptar-los?
    • En el cas de les tires de punts: reconeix a la desena com una unitat i utilitza el comptatge acústic de 10 en 10 per comptar el total de punts?

24 de juny de 2017

Pràctica productiva: restes (3)

A l'igual que Pràctica produtiva: restes (2) i a diferència de Pràctica produtiva: restes (1), la tasca sobre la que parlarem en aquest post forma part de l'article de @suma_fespm "Tareas ricas para practicar las restas"

Aquesta tasca està inspirada en el problema anomenat Diffy que ja vam comentar al post Pràctica productiva i pràctica reproductiva però amb una formulació diferent, més propera a l’estudi realitzat pel matemàtic E. Ducci en 1930 que va trobar que sense importar els nombres d’inici sempre s’arriba a quatre zeros (Font: Cut the knot)

Farem diagrames amb les normes següents:
  • en totes les files hi ha 4 cel·les en cada cel·la, 
  • a partir de la segona fila, has d’escriure la diferència entre les dues cel·les que té immediatament a sobre 
  • en el cas de l’última cel·la de cada fila la diferència l’has de fer entre el últim i el primer nombre de la fila anterior
  • el diagrama acaba quan en tota la fila s’obtenen zeros
Exemple: començant amb els nombres 4, 1, 6 i 2 el diagrama té 5 files
En el context del projecte Problemàtiques alguns mestres del departament col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams vam proposar a alumnes del cicle superior de Primària que triessin nombres de la primera fila perquè el diagrama tingués la major quantitat de files que puguessin aconseguir. L'activitat va ser un èxit, ja que va engrescar molt als alumnes.

A la següent imatge podeu veure l'anàlisi d'una alumna sobre com afecta l'ordre dels nombres de la primera fila a la quantitat de files del diagrama
En aquesta línia, alguns alumnes van voler analitzar totes les 24 possibles distribucions dels 4 nombres en la fila inicial, sense adonar-se que, per simetries i girs, en realitat només cal estudiar tres distribucions diferents i no més.

Els alumnes als que vam proposar el repte no van aconseguir diagrames de més de 8 files (val a dir que van trobar moltes quaternes diferents que generaven diagrames d’aquesta mida) possiblement perquè a partir de l'exemple, van creure que els nombres inicials havien de ser menors que 10.
Però el cert és que hi ha diagrames de tantes files com es vulgui. Per exemple:
  • començant amb els nombres 1, 15, 30 i 60 el diagrama té 10 files
  • començant amb els nombres 0, 653, 1854 i 4063 el diagrama té 24 files
Altres comentaris:
  • Es pot preguntar quin és el diagrama en el que aconsegueixin que hi hagi nombres senars en major quantitat de files. El cert és que a partir de la cinquena fila mai queden nombres senars però es poden triar quaternes en que quedi algun senar fins a la 4a fila (per exemple: 2 4 6 7 → 2 2 1 5 → 0 1 4 5 → 1 3 1 3 → ...) Font: D. Shapiro
  • Es pot proposar als alumnes que analitzin el joc quan en lloc de diagrames que tenen 4 nombres per fila en tenen altres quantitats. La conclusió de que sempre s’arriba a tots zeros pot deixar de ser certa Per exemple, per diagrames de 3 nombres per fila es pot entrar en un bucle 1 2 2 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1 → 1 0 1 → 1 1 0 → 0 1 1... Acabem sempre amb el cicle aa0 → a0a → 0aa on a és el mcd dels nombres diferents de zero de la primera fila.
  • Es pot demanar als alumnes que comparin un diagrama i el que resulta de sumar, restar o multiplicar a tots els nombres de la quaterna inicial per un mateix nombre.
  • Don Steward proposa comprovar que si els 4 nombres inicials estan en progresió aritmètica la quantitat de files és sempre la mateixa (6), investigar què passa quan els 4 nombres inicials són quadrats consecutius, són nombres triangulars consecutius, són termes de Fibonacci, etc o estudiar què passa si a tots els nombres de la quaterna els multipliquem o els sumem un mateix nombre
  • Es pot demanar als alumnes que per a la quaterna inicial triïn nombres que no siguin enters. En aquest sentit, a 4t d'ESO de @escolasadako, aquest any vam proposar als alumnos experimentar amb nombres irracionals


Val la pena analitzar que la petita quantitat de files també es dóna quan totes les entrades són irracionals. Aquí veiem l'anàlisi de la situació amb tres irracionals:


A la dreta apareixen les aproximacions decimals dels valors de cada cel·la per guiar la decisió de quin nombre és més gran i així decidir si es resta a-b o b-a.